数学建模*五大模型之一 之预测模型详解上

预测模型是数学建模中利用数学、统计和算法，基于历史数据、趋势及外部因素，构建模型以预测未来现象、趋势或结果的工具。它广泛应用于经济、金融、市场、气象、环境等领域，旨在提供准确预测，辅助决策者制定有效策略。

本文将详细介绍以下4种数学建模中常用的预测模型，包括:

1.时间序列ARIMA模型

2.灰色预测模型GM（1,1）

3.BP神经网络

4.支持向量机回归（SVR）

对其关键术语、理论、优缺点进行详细阐述并且提供案例实战，帮助大学生们更好地掌握这些模型，提升竞赛能力。

1、掌握时间序列的奥秘—— ARIMA模型解析

ARIMA模型，全称为自回归差分移动平均模型，是时间序列数据分析和预测的强大工具。它由自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）三部分组成。ARIMA模型适用于平稳或非平稳但可转化为平稳的时间序列数据，能够捕捉长期趋势和季节性变化。

01、模型关键术语

（1）自回归（AR）：想象一下，你正在预测明天的天气，你可能会参考今天、昨天甚至前几天的天气情况来做出预测，这种基于过去数据来预测未来的方法，就是自回归的思想。在ARIMA模型中，自回归部分就是使用过去的时间序列值来预测当前或未来的值。

（2）差分（I）：有时候，时间序列数据并不稳定，比如有明显的上升或下降趋势，为了让数据变得稳定，我们可以对它进行差分处理。简单来说，差分就是计算相邻时间点上的数据差异。通过差分，我们可以消除趋势和季节性变化，使得数据更容易被模型捕捉和预测。

（3）移动平均（MA）：移动平均是一种平滑技术，用于减少时间序列数据中的随机波动，在ARIMA模型中，移动平均部分使用过去的预测误差（即实际值与预测值之间的差异）来修正当前的预测。这样做可以使得预测结果更加平滑和准确。

02、模型理论

ARIMA模型的基本原理是，通过结合自回归、差分和移动平均这三种技术，对时间序列数据进行建模和预测，模型会尝试找到时间序列数据中的规律性和趋势性，并利用这些规律来预测未来的数据点。

ARIMA模型的一般形式为ARIMA(p, d, q)，其中：

p：自回归项数，表示模型中使用的过去观测值的数量。

d：差分的阶数，表示为了使序列平稳而进行的差分次数。

q：移动平均项数，表示模型中用于预测误差的过去误差项的数量。

ARIMA(p, d, q)的公式可以表示为：

其中：

是自回归多项式，L是滞后算子。

表示对原始时间序列Yt进行d阶差分。

是移动平均多项式。

ϵt是白噪声序列，代表误差项。

c是常数项（在某些情况下可以为0）。

ARIMA模型的建模过程可以分为以下四个步骤：

步骤1：时间序列的平稳性检验。通常采用ADF或PP检验方法，对原始序列进行单位根检验．如果序列不满足平稳性条件，可以通过差分变换或者对数差分变换，将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后对平稳时间序列构建ARIMA模型；

步骤2：确定模型的阶数。通过借助一些能够描述序列特征的统计量，如自相关(AC)系数和偏自相关(PAC)系数，初步识别模型的可能形式，然后根据AIC等定阶准则，从可供选择的模型中选择一个较佳模型；

步骤3：参数估计与诊断检验。包括检验模型参数的显著性，模型本身的有效性以及检验残差序列是否为白噪 声序列．如果模型通过检验，则模型设定基本正确，否则，必须重新确定模型的形式，并诊断检验，直至得到设定正确的模型形式；

步骤4：用建立的ARIMA模型进行预测。

03、模型优缺点分析

优点：适用于平稳或非平稳但可转化为平稳的时间序列数据，能够较好地捕捉数据的长期趋势和季节性变化。

缺点：对数据要求高，需要时间序列数据是平稳的或者通过差分后变得平稳；对异常值敏感，可能影响模型的准确性。

04、模型SPSSPRO实现

基于1985-2021年某杂志的销售量，预测某商品的未来七年的销售量。

案例数据：

操作步骤：

部分结果展示：

2、少量数据，大有作为——灰色预测模型GM(1,1)

灰色预测模型GM(1,1)利用累加生成算子使数据具备指数规律，然后建立一阶微分方程求解，最后将结果累减还原得到预测值。该模型对数据要求不高，计算简便，适合短期预测，但对长期预测和非单调变化的数据序列效果较差。

01、模型关键术语

（1）灰色系统：想象一下，你有一个盒子，里面装了一些东西，但你看不清楚里面具体是什么，只能看到模糊的影子或者猜测里面可能有哪些东西，这就是灰色系统，它表示我们只知道部分信息，还有部分信息是不确定的。

（2）GM(1,1)模型：GM代表灰色模型，两个1分别表示这个模型只考虑一个变量（通常是时间），并且这个模型是一阶的（也就是相对简单，容易理解）。

（3）累加生成算子（AGO）：这个听起来很复杂，但其实就是把原来的数据加起来，变成一个新的数据序列。比如你有1, 2, 3这三个数，累加后就变成了1, 3, 6，这样做是为了让数据看起来更有规律，更容易预测。

（4）级比检验：在建立模型之前，我们要检查原始数据是不是可以用这个模型来预测，级比检验就是帮助我们做这个判断的，它看看数据之间的比例关系是不是合适。

（5）紧邻均值生成数列：在累加后的新数据序列中，我们取每两个相邻的数的平均值，得到一个新的数列，这个数列会帮助我们建立预测模型。

（6）灰微分方程：这是一个用来描述数据变化规律的数学公式，通过它，我们可以知道数据是怎么变化的，从而预测未来的数据。

（7）发展系数（a）和灰色作用量（b）：这两个是灰微分方程里的“魔法数字”，它们决定了数据变化的快慢和方向。我们通过一些方法（比如较小二乘法）可以找到这两个数字。

（8）累减还原：在得到累加后的预测值之后，我们需要把它们“变回”原来的样子，也就是累减。累减就是连续两次相减，把累加的结果还原成原始数据的预测值。

02、模型理论

GM(1,1)预测模型的简要原理是指：首先利用累加的技术使数据具备指数规律，然后建立一阶微分方程并对其求解，将所求结果再累减还原，即为灰色预测值，从而对未来进行预测 。

步骤1：在建立灰色预测模型之前必须要**建模方法的可行性，即需要对已知的原始数据进行级比检验 。设初始非负数据序列为：

只有当所有的σ(k)全部落入计算范围内才可以进行模型的建立。级比的计算和判断公式分别为：

通过累加运算后得到的x(0)一阶累加序列可以弱化x(0) 的扰动：

z(1) 是x(1) 的紧邻均值生成的序列

故可以求得GM(1,1)模型对应微分方程为：

其中z(1) 为GM(1,1)模型的背景值 。

步骤2：构建数据矩阵B及数据向量Y ，分别为

则灰色微分方程的较小二乘估计参数列满足

其中，a主要控制系统发展态势，被称为发展系数；b的大小反映数据变化的关系,被称为灰色作用量。

步骤3： 建立模型并求解生成值与还原值。依据公式求解,可得到预测模型

经过累减,得到还原预测值。

03、模型优缺点分析

优点：对数据要求不高，只需要少量数据即可建模；计算简便，易于实现。

缺点：只适用于短期预测，对于长期预测效果较差；对于非单调变化的数据序列预测效果不理想。

04、模型SPSSPRO实现

基于某杂志2006-2021年某产品的年销售量，使用灰色预测模型对未来三年销售量进行预测。

案例数据：

案例操作：

部分结果展示：

3、从输入到输出——深度剖析BP神经网络

BP神经网络，即反向传播神经网络，是一种多层前馈神经网络。它由输入层、隐藏层和输出层组成，通过反向传播算法调整权重和偏置，以较小化预测误差。输入层接收数据，隐藏层进行复杂处理，输出层给出预测结果。BP神经网络能够处理非线性关系，具有强大的学习和适应能力，但也存在模型复杂度高、易陷入局部较优解等缺点。

01、模型关键术语

（1）输入层：这像是“耳朵”和“眼睛”，负责接收外界的信息或数据。比如，如果我们想预测明天的天气，那么输入层就会接收像今天的气温、湿度、气压这样的数据。

（2）隐藏层：这像是“大脑”，它有很多层（有时候只有一层），每一层都有很多“神经元”。这些“神经元”会对输入层传来的信息进行各种复杂的处理，试图找出其中的规律和模式。隐藏层越多，模型就越复杂，但也可能更准确地捕捉到数据中的细微差别。

（3）输出层：这像“嘴巴”，负责把处理后的结果告诉我们。比如，在预测天气的例子中，输出层可能会告诉我们明天的气温、湿度、是否下雨等信息。

02、模型理论

BP神经网络的核心是反向传播算法，该算法用于调整网络中的权重和偏置，以较小化预测误差。在训练过程中，网络首先根据输入数据前向传播得到预测结果，然后计算预测误差，接着利用梯度下降法等优化算法反向传播误差，更新网络中的权重和偏置，以减小误差。这个过程会不断迭代，直到达到预设的停止条件（如误差小于某个阈值、迭代次数达到上限等）。

以一个三层BP神经网络举例：

隐含层的输出量设为Fj，输出层的输m量设为Ok， 系统 的激励函数设为G， 学习速率设为β，则其三个层之间有如下数学关系：

系统期望的输出量设为Tk，则系统的误差E可由 实际输出值和期望目标值的方差表示，具体关系表达式如下：

并令：

利用梯度下降原理， 则系统权值和偏置的更新公式如下：

03、模型优缺点分析

优点：能够处理非线性关系，具有强大的学习和适应能力；可以处理多输入多输出问题。

缺点：模型复杂度高，需要大量的训练数据；容易陷入局部较优解；对参数（如学习率、隐藏层节点数）的选择敏感。

04、模型SPSSPRO实现

研究“幸福感”的影响因素，有四个变量可能对幸福感有影响，它们分别是：经济收入、受教育程度、身体健康、情感支持。建立支持bp神经网络模型来预测幸福度。

案例数据：

案例操作：

部分结果展示：

4、寻找较佳拟合面——支持向量机回归探秘

SVR通过寻找一个较优超平面来拟合数据，使得数据点到超平面的距离较小。SVR引入了ε-不敏感损失函数，允许预测值与实际值之间存在一定偏差，从而避免过拟合并提高泛化能力。SVR适用于高维数据，具有良好的泛化能力，但对参数选择较为敏感。

01、模型关键术语

（1）超平面：在SVR中，超平面代表了我们试图找到的较佳拟合线或面，用于预测新数据点的值。这个超平面的位置是通过优化算法确定的，旨在较小化数据点到超平面的全局性误差（在ε-不敏感损失函数的框架下）。

（2）支持向量：支持向量是那些对确定超平面位置起关键作用的数据点。在SVR中，它们通常是距离超平面较近且位于ε-不敏感带之外的数据点，这些点决定了超平面的精确位置和形状。

（3）误差（或损失）：在SVR中，误差的计算基于ε-不敏感损失函数。如果数据点位于超平面两侧的ε-不敏感带内，则其误差被视为0；如果数据点的误差（即距离超平面的距离）超过ε，则这部分误差会被计入损失函数。

（4）ε-不敏感损失函数：这是一个允许SVR在预测时有一定容错范围的函数。通过设置ε的值，可以控制模型对误差的敏感度，从而避免过拟合并提高模型的泛化能力。它定义了一个宽度为2ε的间隔带，只有在间隔带外的数据点的误差才会被计入损失。

02、模型理论

对于一般的回归问题，给定训练样本集D={(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}，SVR的目标是学习一个函数f(x)，该函数能够使得预测值f(x) 与实际值y之间的差异尽可能小。与传统的回归方法不同，SVR通过引入ε-不敏感损失函数来实现这一目标。

具体来说，SVR假设预测值f(x) 与实际值y之间可以存在一定的偏差，这个偏差的阈值由ε决定。如果f(x) 与y的差的绝对值小于或等于ε，则认为预测是“足够好”的，此时不计算损失。只有当差的绝对值大于ε时，才会计算损失，并尝试通过调整超平面的位置来较小化这些超出ε的数据点的总误差。

因此，SVR的优化问题可以转化为寻找一个超平面，使得所有数据点到该超平面的距离（在ε-不敏感损失函数的框架下计算）之和较小。这个过程中，支持向量起到了关键作用，因为它们直接决定了超平面的位置。

因此SVR问题可转化为（下式左部是正则化项）：

上式左部是正则化项，右部式损失函数：

因此引入了松弛因子，SVR问题就是：

最后引入拉格朗日乘子，可得拉格朗日函数：

对四个遍历求偏导，令偏导数为零，可得：

把上边的式子带入，即可求得SVR的对偶问题：

上边的过程需要满足KKT条件，即

最后，可得SVR的解为：

03、模型优缺点分析

优点：适用于高维数据，具有良好的泛化能力；通过引入ε-不敏感损失函数，能够控制模型的复杂度和避免过拟合。

缺点：对参数（如ε、核函数）的选择敏感；对于大规模数据集的训练时间较长。

04、模型SPSSPRO实现

研究“幸福感”的影响因素，有四个变量可能对幸福感有影响，它们分别是：经济收入、受教育程度、身体健康、情感支持。建立支持向量机回归模型来预测幸福度。

案例数据：

案例操作：

部分结果展示：

这4种常见的预测模型介绍到这里就结束啦~下篇我们将继续分享更多常用的预测模型。

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